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素数是什么意思?素数的概念定义
上传时间:2020-08-29 16:19点击:

素数又称为质数,其定义是在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数;否则称为合数

素数和合数是一组相对的概念(规定1既不是素数也不是合数)。

人类在很早的时候就开始研究素数了,神秘的素数令无数数学家为之魂牵梦绕。

在数学中就有一门分支学科专门研究素数(整数)及其性质,称为数论,你一定听闻过我国数学家陈景润攻克哥德巴赫猜想的故事吧,讲的就是这个。

素数从2开始,后续有3、5、7、11等等等等,你是否有这样的疑问:假如素数如果可数,是否可以数完?换句话说,素数是有限个的还是无穷的?





100以内的素数答案是无穷多个的。

今天大小吴就将为大家介绍一下“素数有无穷多个”的4种证明方法~在此之前,我们首先来了解一下“算术基本定理”。

算术基本定理:

 

为一个大于1的自然数,则有

 

其中

 

为某自然数,

 

是素数,并且在不记素数排列次序的意义下,上式分解是唯一的。

 

1Euclid的证明

关于素数有无穷多个的证明,早期经典的证明可以追溯到欧几里得(Euclid)的《几何原本》。

这也用到了数学中的反证法。








欧几里得(约公元前330年—公元前275年)假设 是全部素数,令

 

,并且

 

 

的一个素因数。

 

,否则

 

 

 

整除

 

,且

 

整除

 

),从而

 

,即

 

,这是不可能的。

所以

 

是一个新的素数,所以假设不正确,因此素数有无穷多个。

2Hermite的证明

第二个证明来自法国数学家埃尔米特(Hermite),过程也是非常简洁优美。



埃尔米特(CharlesHermite,1822年—1901年)考虑任意的正整数

 

,只需证明必存在大于

 

的素数即可。

构造 若

 

为素数,则结论成立;若

 

为合数,对于任意的正整数 ,

 

都不能整除

 

,则必存在一个比

 

大的素数

 

,有

 



因此素数有无穷多个。

3利用费马数证明

另一个证明来源于数学史上一个著名的乌龙事件,数学家费马发现对于 前五个数 ~ 均为素数,于是他猜想所有的 都是素数,费马没给出证明(他经常这样干)。

 



“业余数学之王”费马

有趣的是,天降神人数学猛男欧拉发现是一个合数,直接无情推翻了费马的猜想。
 

利用费马数证明素数无限可以遵循如下思路:证明费马数两两互素⇒每个费马数都有其独特的素因数(费马素数的素因数即是它本身)⇒无限的费马数对应无限的素数后面两步比较好理解,现在只需证明的即是费马数两两互素。

考虑如下递推式:对于上述递推关系的证明可以简单地用数学归纳法证明:1)易知 , ,则当

 

时,有

 

成立2)当

 

时,也成立事实上,对于任意两个不同的费马数 和

 

,则由递推关系可知

 

继而由辗转相除法可知 但由于所有的费马数均为奇数,所以

 

即任意两个费马数互素,证明完毕。

4数学归纳法

最后一个证明遵循的原理是数学归纳法,非常巧妙。

任取素数 ,则有

 

,即 与 互素,因此 的素因数中,至少存在1个不等于 的素因数 ,令

 

,则 的素因数中,存在2个互不相等的素因数 、 。

同理因为

 

,因此 的素因数中,至少存在1个不等于 和 的素因数 ,令

 

,则 的素因数中,存在3个互不相等的素因数 、 、 。

假设 至少有

 

个互不相等的素因数,因为

 

,因此 的素因数中,至少存在1个不等于 、 、 、

 

、 的素因数 ,令

 

,则 的素因数中,存在

 

个互不相等的素因数 、 、 、...、 。

由数学归纳法可知,素数有无穷多个。

参考文献[1](德)MartinAigner,GünterM.Ziegler.数学天书中的证明(第三版)[M].冯荣权等译.高等教育出版社,2009.



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