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黑白棋游戏中的奇偶性问题
上传时间:2021-01-29 10:05点击:

  有个比较有意思的问题,形式比较多,有说开灯关灯的,也有说黑白棋的,不过黑白棋更容易让小朋友理解。黑白棋就是一面是黑棋,翻一下就变成白棋,再翻一下又变回黑棋。我们来看看这样的题目:

1

 

棋盘上有n个黑棋,每次翻动n-1个棋,那么翻动多少次以后,n个黑棋都变成白棋?

  这道题我们看一下,如果最终要都变成白棋,对于每个单独的棋子来说,都需要被翻动奇数次,否则就又变成黑棋了。

  我们可以假设翻动m次,那么总的次数是(n-1)×m次。

  现在开始进行奇偶性分析:

  1.如果n是奇数,那么n-1是偶数,无论m是奇数还是偶数,总的此数(n-1)×m一定是个偶数;

  但是n个,也就是奇数个棋子,每个都被翻动奇数次,总次数也必然是奇数,与上面所说的“一定是个偶数”矛盾了。

  结论:n是奇数的时候,无法按题目要求完成任务。

  2.如果n是偶数,每个都被翻动奇数次,总次数是偶数。

  n-1是奇数,m必须是偶数,总的此数(n-1)×m才能是个偶数。

 

  结论:n是偶数的时候,必须翻动偶数次,才有可能按题目要求完成任务。

 

  注意:我们只是通过奇偶性分析,发现当棋子数是偶数的时候,才有可能按要求完成,现在还需要进一步寻找解决问题的方法。

  我们之前结论说了,需要翻动偶数次,但是对于每个单独的棋子来说,我们都需要翻动奇数次,所以能不能这么来试试:

  我们把n个棋子分别标记为1~n号;

  第1次,除第1号外,其他n-1个棋子各翻1次;

   第2次,除第2号外,其他n-1个棋子各翻1次;

   ……

   第n次,除第n号外,其他n-1个棋子各翻1次;

   这样,每个棋子都被翻了n-1次,正好都变成了白棋。

2

 

如果黑白棋盘上有10个黑棋,每次翻动7个棋子,翻动7次后,能不能都变成白棋?

  10个黑棋变成白棋,虽然每个棋子都需要翻动奇数次,但是因为是偶数个,所以总次数一定是偶数;

  每次翻动7个,翻动7次,总次数是奇数,所以完全不可能实现。

 

3

 

如果黑白棋盘上有10个黑棋,每次翻动7个棋子,翻动6次后,能不能都变成白棋?

  从奇偶性分析,是有可能的,并且翻动6次其实总次数是42次,但是对于10个黑棋来说,每个棋子翻动1次就够了,所以如何消耗多余的32次呢?

  我们直接图形展示,对10个棋子编号1~10,方框表示翻动:

   第1次,1~7号各翻1次;

   第2次,3~9号各翻1次;

   第3次,4~10号各翻1次;

   第4次,3~9号各翻1次;

  第5次,1~5、8、9号各翻1次;

  第6次,1~3、6~9各翻1次。



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