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在大三角形内作与另一三角形全等的内接三角形
上传时间:2021-02-16 11:40点击:

如图,有一个稍大一些的三角形ABC,要求在其内部作一个三角形(三个顶点分别位于稍大三角形的三条边上,这样作出的三角形称为内接三角形),使其与某已知较小三角形DEF全等。

请考虑一下。是不是没有思路?那么我们不妨逆向思维,即能否从稍小三角形DEF出发,作出一个与三角形ABC全等的三角形?我们下面就来实践一下。

 

(1)以DF为弦在DF外侧作一个弓形弧(弧所在圆的圆心为O),使这个弧所含弓形角等于∠B。同样地,以DE为弦在DE的外侧作一个弓形弧(弧所在圆的圆心为O'),使这个弧所含弓形角等于∠C。如下图所示。

(2)连接两圆的圆心O和O'。以OO'为直径在点D的同侧作半圆。以点O'为圆心以大三角形ABC的边BC的一半(BC/2)为半径作圆弧,与半圆交于点P。

 

(3)连接PO',并过点D作平行于PO'的直线,与两圆分别交于点B'、C'。则B'C'的长度是PO'的两倍,也就是BC的长度。(为什么?因为点P和O'在B'C'上的投影分别是B'D和DC'的中点。)

(4)连接B'F并延长,连接C'E并延长,两延长线交于点A'。则三角形ABC就一定与三角形ABC全等(角边角)。

 

(5)再在原三角形中取点D'、E'、F',使BD'=B'D,CE'=C'E,AF'=A'F。三角形D'E'F'就是所要求作的内接三角形。

还有另一解,如下面两图绿色线所示。

前面所作两解的三角形都与已知三角形全等且可以通过平移而互相重叠。但我们知道全等三角形只要三边分别相等即可,所以,两个三角形全等时它们也可能不能通过平移互相重叠但把其中一个翻转后就可以了,所以,如果我们事先把较小三角形沿一条边对称翻转,再按上面的步骤作图,就会再得到另外两解。这里就不画了,请您自己试试。

 

显然,较小的三角形不能太小,否则怎么都与大三角形“够不上”。太大也不行,可能“放不进”。到底小到什么程度或大到什么程度,可自行研究一下。



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