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“九树排九行”与布里安香定理
上传时间:2021-04-08 10:39点击:

就我所知,有好几个定理都称作布里安香定理,今天我来说一说其中一种。

 

布里安香定理:如果一个六边形一组互相间隔的三条边交于一点,另一组互相间隔的三条边相交于另一点,那么这个六边形三条相对顶点连线(对角线)相交于一点。

 

定理只用语言描述,不太好理解。我们画图举例加以说明。如下图所示,点P和Q是两个定点。123456为一六边形(六条边首尾相连而成的封闭图形,它可以是凸的、凹的、甚至边之间互相有交叉),其中1、2、3、4、5、6依次为它的六个顶点;它的六条边依次为(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)。

已知三条相间的边(1)、(3)、(5)相交于点P,另外三条相间的边(2)、(4)、(6)相交于点Q。那么,定理的结论就是:六边形相对的顶点1和4的连线“14”、2和5的连线“25”、3和6的连线“36”交于一点R。我们下面将要利用这个定理证明一个熟悉的定理——帕普斯定理。然后再讨论一下“九树排九行”问题。

 

先回忆一下帕普斯定理:有两条直线l1和l2,在直线l1上顺次有三点A1、A2、A3,在直线l2上顺次有三点B1、B2、B3,连接A1B2、B2A3、A3B1、B1A2、A2B3、B3A1。则A1B2与A2B1的交点X,A2B3与A3B2的交点Y,A3B1与A1B3的交点Z三点共线(图中红线)。

以前曾用交比的方法证明过帕普斯定理(链接在文后)。今天这里则是用前面所讲的布里安香定理来证明,这个方法比较简洁。我们重新标注一下上图中的点和线,如下图所示。

观察上图。我们把原来图形中的A1和B1改叫P和Q。把B2、X、A2、A3、Z、B3依次改叫1、2、3、4、5、6。把Y改叫R。于是,图中出现了六边形123456(内涂阴影者)。如果我们用顶点表示边的话,那么六边形的六条边依次是“12”、“23”、“34”、“45”、“56”、“61”。可以从图中看出,“12”、“34”、“56”是互相间隔的三条边,它们交于点P;“23”,“45”,“61”是另外三条互相间隔的边,它们交于点Q。那么,根据前面所讲的布里安香定理,六边形123456的相对顶点1和4的连线“14”,2和5的连线“25”,3和6的连线“36”必定交于一点。那您从图中找一找这三条连线。是不是正好就是“14”和“36”的交点R位于“25”上!所以,2、5、R三点共线。这就证明了帕普斯定理。

 

我们发现上图中一共有九个点和九条线。如果我们不再刻意强调直线l1、l2、l,并且先不画出什么六边形,则上图就成为下图:

它一共有九个点,九条线。每个点有正好三条线经过,每条线都经过正好三个点。这就是所谓的布里安香构形。若把布里安香定理中的三条对角线的交点称为布里安香点,那么,这九个点就是:两个定点,六边形六个顶点和一个布里安香点。但其实,这九个点的地位是相同的。上图中,我们也可以取Q和R为两个定点,而让P成为布里安香点,如下图所示。图中天蓝色图形为六边形,即163254。它的三条相间的边“16”、“32”、“54”都经过点Q;它的另外三条相间的边“63”、“25”、“41”都经过点R。所以,它的三条对角线“12”、“65”和“34”(163254)必交于一点,即点P。确实如此。

更进一点,我们甚至可以让1、2、3、4、5、6中的任意一个点也成为布里安香点。比如我们让点3成为布里安香点。那么,经过点3的三条直线是“P34”、“Q23”和“6R3”。那么,这三条直线上除去点3外的六个点就应该是六边形的六个顶点。于是,两个定点一定是1和5。我们找出一个六边形满足布里安香定理条件即可。如下图所示,这个六边形是P2R4Q6。它的三条相间的边(1)(3)(5)(红色)相交于点1;三条相间的边(2)(4)(6)(绿色)相交于点5。对角线分别是“P4”、“2Q”和“R6”(P2R4Q6)。它们确实相交于布里安香点3。

可以用(93)表示这里的布里安香构形,其中的“9”表示构形中有9个点,下标“3”表示每个点都有且只有三条直线通过;“9”也表示构形中有9条线,下标“3”表示每条直线经过且只经过三个点。请与上一讲所讲的笛沙格构形(103)进行对比。



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