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卢卡斯数列与斐波那契数列
上传时间:2021-10-04 12:48点击:

今天简单介绍一下卢卡斯数列。

我们知道斐波那契数列为:

 

  1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ···

 

而卢卡斯数列是通过斐波那契数列来定义的。首先,我们补充定义F0=0。于是,补充后的斐波那契数列为:

 

  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ···

 

我们定义卢卡斯数为:

 

   Ln =Fn-1 +Fn+1,  其中 n=1,2,3, ···

 

于是,

 

  L1 =F0 +F2 = 0+ 1=1

  L2 =F1 +F3 = 1+ 2=3

  L3 =F2 +F4 = 1+ 3=4

  L4 =F3 +F5 = 2+ 5=7

  L5 =F4 +F6 = 3+ 8=11

  L6 =F5 +F7 = 5+ 13=18

  L7 =F6 +F8 = 8+ 21=29

  L8 =F7 +F9 =13+ 34=47

  L9 = F8 +F10 =21+ 55=76

  L10 =F9 + F11 =34+ 89=123

  L11 =F10 +F12 =55+144=199

  L12 =F11 +F13 =89+233=322

  L13 =F12 +F14 =144+377=521

   ............

 

于是,卢卡斯数列就是这样一个数列:

 

  1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,332,521,···

 

它的第1项为1,第2项为3。而根据卢卡斯数的定义,序号为n的卢卡斯数是以其前后序号n-1和n+1为序号的斐波那契数之和,所以有

 

     Ln =Fn-1 +Fn+1

      =(Fn-3 +Fn-2 ) +(Fn-1 +Fn )    

      =(Fn-3 +Fn-1 ) +( Fn-2 + Fn )

      =Ln-2+Ln-1

 

即,卢卡斯数列从第3项起,每一项都是其前面两项之和。这与斐波那契数列的递推关系一样。

 

我们观察序号为素数的卢卡斯数:L2,L3,L5,L7,L11,L13,···。把它们都减去1。发现,它们都可以被素数序号整除:

 

     L2-1=3-1=2=1×2

     L3-1= 4-1 = 3 = 1×3

     L5-1= 11-1 =10=2×5

     L7-1= 29-1 =28=4×7

     L11-1= 199-1 =198=18×11

     L13-1 = 521-1 =520 =40×13

 

可以证明,若卢卡斯数的项数为素数,则这个卢卡斯数减去1后所得的差,可以被这个素数整除。这是一个非常神奇的性质,可能对素数中未知领域的研究有重要的价值。

 

有关卢卡斯数,只先介绍这些基本的内容。



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