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斐波那契数列数论性质与费马小定理
上传时间:2021-10-06 12:56点击:

下面这个性质的出现次数非常多:

比如在那个著名的几何谬误中(以前讲过)。今天我们用这个性质来研究关于斐波那契数列中奇数项的因数的一个性质,这个性质一般不是很容易看出来。看出来了,证明也不是很容易。我今天应用费马小定理,就可以证明这个埋藏极深的性质。

 

数论性质:斐波那契数列中奇数项(指标号为奇数的项,比如u1,u3,u5等)的奇因数都具有4k+1的形式。

 

 

4k+1形式的奇数有:1,5,9,13,17,21,25,···。我们来看一下这些奇指标的斐波那契数。

  u1=1,              1=4×0+1

  u3=2=1×2,          1=4×0+1

  u5=5=1×5,          5=4×1+1

  u7=13=1×13,        13=4×3+1

  u9=34=1×2×17,     17=4×4+1

  u11=89=1×89,      89=4×22+1

  u13=233=1×233,    233=4×58+1

  u15=610=1×2×5×61,61=4×15+1

   ············

上面黑体数字即奇指标斐波那契数的奇因数,它们都可以写成4k+1形式。(注意一下,上面奇数项斐波那契数都进行了素因数分解。u15稍有不同,其的5×61仍然是4k+1形式,这时因为两个“4k+1形式”的乘积仍然是“4k+1形式”。这个细节对我们要证明的性质有最后的帮助。)

 

我们下面来从理论上证明。设un为奇数项,即n为奇数。从而(-1)^n=-1。所以,开始时那个常用性质就成为:

对上式进行变形:

我们考虑是的斐波那契数列中的奇数项,而这些奇数项从u5开始,都有非1的奇数因数。经过素因数分解,u5及之后的奇数项,都有奇的素因数。我们不妨设这样的奇素因数为p(注意,p是素的这点很重要,后面要用到)。于是,当然有p整除un。记为p|un。从而由上面变形的结果可以看出:

这说明,用p去除(un-1)^2的余数为-1。可以用同余式写成:

在往下进行之前,我们需要补充一些知识。

一个正整数n被另一个正整数p除,余数可以是0(整除),1,2,···,p-1。若余数为p-1,我们也可以说余数为-1。记做:

比如,28除以13,带余除式为:28=2×23+2;若是25除以13,则带余除式可以写成:25=1×13+12,但也可以写成2×23-1。所以,25≡12(mod13)或25≡-1 (mod 13)。下面这个结论很重要:

更进一步,

这个结论的证明不复杂:把n≡-1 (mod p)写成下面第一式,从而有下面的其他无穷多的恒等式。

看上面每一行的最后一项即常数项,即可得出结论,这是因为其他项都可以被p整除。这些常数项是间隔着的1和-1。

 

下面的证明还要用到费马小定理:

费马小定理:若p是素数,n为不能被p整除的正整数,则



能够被p整除。或者说,

好的,我们继续证明我们要证明的结论。un-1与un是相继的两个斐波那契数,所以,它们互素(否则,它们的非1公因数也是它们前面一项的因数,倒推出也是第1项的公因数,但第一项F1=1,矛盾),那么,我们前面已经设p为un的素因数,所以,素数p一定不是un-1因数。那么,根据费马小定理,就有:

 

 

把上式改写成:

再同时考虑前面得出的式子:

所以,

于是,

p=4k+1

 

再因为任意多个4k+1形式的素数的乘积仍然是4k+1形式的,所以,u5及以上奇数标号斐波那契数的一切奇因数都是4k+1形式的。而u1=1和u3=2也有奇数因子,就是1,而1当然也是4k+1形式的(k=0)。所以,我们便证明了开始时我们所要证明的那个数学性质:斐波那契数列中奇数项(指标号为奇数的项)的奇因数都具有4k+1的形式。



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