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史留斯蚌线(含蔓叶线)
上传时间:2021-12-22 13:10点击:

史留斯蚌线及它们与圆锥曲线之间的关系。

 

史留斯蚌线是这样做出来的:有一个半径为r的圆C,取一条直径OD(不妨置于水平)。还有一条直线l与直径OD垂直。直线l与圆心的距离可以变化,有相离、相切和相交三种关系。以下图相离情况为例加以说明。

 

以点O为极点,OD所在直线为极轴。在直线l上取一动点N,作射线ON。ON与圆交于点M。作向量MN(注意,这里取向量,是为了有方向)。在射线上(或反向延长线上取一点P,使得向量OP等于向量MN。那么,随着点N在直线l上的运动,点P将描绘出一条运动轨迹。这条轨迹就是史留斯蚌线。根据直线与圆的不同位置关系,史留斯蚌线有三种可能的大致形状:

(1)相离,即a>2r时。这时的史留斯蚌线如上图最右图绿色曲线所示,它没有尖点,关于x轴对称,有一条渐近线,就是直线l。曲线全部位于过点O且与OD垂直的直线的右侧,直线l的左侧。这时的史留斯蚌线叫做短蔓叶线。

(2)相切,即a=2r时。如上图中间一图红色曲线所示。这时的史留斯蚌线有一个位于点O处的尖点,曲线也关于x轴对称,以直线l为渐近线。这时的曲线正是著作的蔓叶线(前几期讲过)。

(3)相交,即a<2r时,史留斯蚌线有一个绕扣(绕环),绕扣位于O点与圆相反的一侧,如下图左侧图中的粉色曲线。它叫做长蔓叶线。

上面三个状态中,相切是相离与相交之间的临界状态,只有一个瞬间(a=2r)。长蔓叶线有无数多条,也互不相似;短蔓叶线也是如此。而蔓叶线因为是一个瞬间,所以,不管你用多大或多小的圆,画出来的蔓叶线有多大或多小,但经过缩小或放大及平移或旋转,它们都可以重合,从而所有蔓叶线都是相似的。这正像圆锥曲线中,双曲线与椭圆的临界状态是抛物线,而所有的抛物线都是相似的。

 

说到圆锥曲线与史留斯蚌线之间存在着这种类似之处,我们好期待两者之间存在着某种联系。事实上,史留斯蚌线与圆锥曲线是互为反演的关系。如下图所示,长蔓叶线与双曲线互为反演,蔓叶线与抛物线互为反演,短蔓叶线与椭圆互为反演。当然,一定要把反演极置于点O处。

数学真是奇妙,这个看似很奇怪的史留斯蚌线,却其实与大名鼎鼎的圆锥曲线有着这样完美的关系。我们以前讲过的帕斯卡蜗线(中间状态是心脏线),也有三种大致形状,也是分别与圆锥曲线存在互为反演的关系。数学之美有时就在于看似不相关的两件事物,却能美妙地产生某种联系。对数学的喜爱就是从这样对美的挖掘和感悟中建立起来的。

 

下面简单推导史留斯蚌线的极坐标方程。由上图可以直接看出:

显然a≠2r时,一般来说,a和r的变化不会导致ρ的等比例变化。而在临界状态即a=2r即蔓叶线时,方程变为ρ=2r(1/cosθ-cosθ)。r变化,ρ跟着线性变化,这就是成比例变化,就是相似性。

 

回想一下帕斯卡蚌线的方程和三种类型曲线的形状,也有类似的情况发生。

在2r=l时,方程变为ρ=2r(cosθ+1),曲线成为心脏线,ρ随r线性变化。于是所有心脏线都是相似的。

 

最后看一下圆锥曲线的极坐标方程:

说明只有在离心率不变的情况下才有相似性。而抛物线的离心率e=1,不变。所以所有不同大小的抛物线都是相似的。椭圆有扁一些的,有圆一些的,但通过放大缩小不能使它们重合。双曲线也类似,但抛物线可以做到。



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