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范数是什么?Norm和范数的故事
上传时间:2022-04-10 22:45点击:

范数翻译自英语norm,是一个数学术语。其功能相当于是矩阵(或向量)的大小。

 

一、什么是范数

 

数学分析喜欢比较大小多少(和人喜欢攀比差不多),但矩阵所含元素往往不止一个(等于一个便是”数“,可以不用玩矩阵)。两个矩阵之间有时也要比”大小”。如果逐个元素去比,一方面得不到“大小”的确切结论,另一方这样比有没有物理意义和工程意义。范数是从矩阵元素算出一个数来(算的方式肯定有一定意义),这个数就可用于比矩阵的"大小")。

 

 

 

同一个矩阵,可以定义不同的范数,差别在于不同的计算方式。对常见的矩阵情形而言,范数除了要求正定性、齐次性和三角不等式之外,还必须满足相容性||XY||≤||X||*||Y||。

 

对向量情形,范数相当于它的长度(其中2-范数就是长度),而“长度”的英语是length。

 

对数量情形,范数相当于绝对值,后者英语是absolutevalue。

 

对复数情形(也可以视作特殊向量),范数相当于模,后者英语是modulus。

 

数学史上,数量的absolutevalue(至少在1806年法国科学界就已经使用),复数module(法国1806年已使用,对应英语的modulus)。向量是随后才被系统研究的,所以向量length概念肯定比复数的modulus晚。

 

矩阵是最后出现的,所以norm也最后出现,因此norm对absolutevalue,modulus和length的发展。(绝对值的符号||确实比较晚,于1841年由大数学家魏尔施特拉斯引入)

 

很多教学安排是讲不到矩阵,当然,一统天下的norm也就不会被提及。这使得绝对值、模和长度等概念更为大家所熟悉。

 

二、Norm的含义是什么?

 

Norm源自法语norme,后者则拉丁语norma,原义为carpenter'ssquare(木匠矩尺),rule(规则),pattern(模板)。如同古汉语的“不以规矩,不能成方圆”的“矩”,古代罗马的木匠也用Carpenter'ssquare确定桌角是否为直角。

 

 

随语言动力发展,norm演绎出pattern(典型范式,典型模式),standard(标准,规范)等含义。这大概就是norm翻译成“范数”的原因。

 

不过,对于一个数据系列而言,其“典型”是它的average(平均值),这确实是norm的含义之一。

 

如果一个数据系列均值为已经是零,再对它求常规average就没有意义了。为了对这个数据序列大小有点感觉,可以求它取绝对值后的平均值。绝对值之平均值再乘上数据个数,就等于把数据序列当作向量的1-范数。

 

也许数学家觉得“绝对值之平均值再乘上数据个数”的操作是“脱裤子放屁”,于是就把“绝对值之和”当作范数了(1-范数)。

 

绝对值之平均值虽然运算简单,但数学分析性不好(绝对值操作不能保证出处能求导)。对数据平方再求均值的物理意义比较清晰,而且平方操作可出处求导,于是数据平方求均值在科学研究和工程应用中就比较流行。但是,为了能与原始数学量纲一致(量纲一致是比大小的前提),科学家便对平方均值开根号,这便是均方根。

 

同样,搞矩阵的数学家可能觉得对数据平方求均值不如数据平方和简便,于是就直接对数据平方和开方,这便是由数据所组成的向量长度,也是2-范数。

 

也许因上述原因,norm从“均值”含义引申除了“长度”含义。

 

当然,对“范数”而言,乘上一个常数,并不会影响它的资格和性质。

 

既然认可了norm的向量长度含义,那么它当然适合可看作特殊向量的复数了,即norm对复数就是“模”。



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