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用笛沙格对合定理证明坎迪定理
上传时间:2022-05-14 11:22点击:

最近几期都讲到笛沙格对合定理。上上期我们讲了用笛沙格对合定理证明蝴蝶定理。蝴蝶定理的推广形式就是所谓的坎迪(Candy)定理。以前我讲过坎迪定理,给出了证明(见文后链接),但证明过程比较复杂。今天我给出用笛沙格对合定理证明坎迪定理,非常简洁和有效,正像我们之前用它证明蝴蝶定理那样简洁、有效。

 

先给出坎迪定理本身:

有一个圆O,任取一条弦AB。在弦AB上任取一点P,过点P作两条与AB不同的弦CD和EF(要使点C和E位于弦AB同侧)。连接CF和DE。CF和DE分别与弦AB交于点G和H。如下图所示。(注意,图是我那次证明坎迪定理时使用的,上面有一些符号这次就不用了,本次仍然放在这里,也从一个侧面说明本次的证明更加简洁。)

坎迪定理的结论是:弦AB上一点P到弦两端点A和B的距离p和q的乘积pq,与这点到两弦CF和DE与弦AB交点G和H的距离x和y的乘积xy的比值pq/xy,等于p和q的差p-q与x和y的差x-y的比值(p-q)/(x-y)。如下面(1)式。也可以写成下面的(2)式。

(若p=q,则由(2)式,一定也有x=y。这就是蝴蝶定理。)

 

下面我们用笛沙格对合定理证明坎迪定理。

可以写出下面的交比等式:

(APGB)=(BPHA)

所以,

AB=BA,所以得

改用小写字母表示线段,并化简,得

(4)式即(1)式,定理得证。做个简单的变形,就可以得到形式(2)。



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