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潘洛斯阶梯

潘洛斯阶梯的破绽,潘洛斯阶梯怎么画ã€èƒ½ä¸èƒ½æž„建ã€æ€Žä¹ˆèµ°å‡ºã€å­˜åœ¨å—,现实中的潘洛斯楼梯ã€åŽŸç†ã€å›¾è§£ã€æ¨¡åž‹åˆ¶ä½œã€è§†é¢‘ã€å›¾ç‰‡ã€‚

å¸•æ™®æ–¯å®šç† å°‘è© å®¶åŽé¢æœ‰ä¸€ç‰‡ç©ºåœ°ï¼Œå¥¹æƒ³åœ¨ä¸Šé¢ç§æ¤ä¹æ£µè‹¹æžœæ ‘,但è¦æ±‚能够连接出åæ¡çº¿æ®µï¼Œè€Œæ¯æ¡çº¿æ®µéƒ½è¿‡ä¸‰æ£µæ ‘。问她需è¦æ€Žä¹ˆç§æ¤è¿™ä¹æ£µæ ‘? 本期è¦ä»‹ç»çš„帕普斯定ç†å¯ä»¥ç”¨æ¥è§£å†³è¿™ä¸ªé—®é¢˜ã€‚ 一æ¡ç›´çº¿ä¸Šæœ‰é¡ºåºä¸‰ç‚¹A1ã€A2ã€A3,å¦ä¸€æ¡ç›´çº¿ä¸Šæœ‰ä¸ŽA1ã€A2ã€A3顺åºä¸€è‡´çš„三点B1ã€B2ã€B...

2021-04-05

深夜,在ç¢ç£¨ä¹‹å‰é‡åˆ°çš„一个三角函数的范围判定问题 有时候虽然åšå‡ºæ¥äº†ï¼Œä½†æ˜¯æ¯ä¸ªé¢˜æ–¹æ³•ä¸ä¸€æ ·ï¼Œæˆ‘就会想: 为什么这个题,我这样åšï¼Œé‚£ä¸ªé¢˜æˆ‘那样åšï¼Ÿä¸ºä»€ä¹ˆæˆ‘会这样想,为什么那样出ä¸æ¥ï¼Ÿ åªæœ‰æƒ³æ¸…楚这件事,一æ¥ï¼Œè‡ªå·±ä¸ä¼šå¿˜ï¼ŒäºŒæ¥ï¼Œæ‰èƒ½ç»™å­¦ç”ŸæŠŠè¿™ä¸ªé—®é¢˜è®²æ˜Žç™½ï¼å¦åˆ™è¯´å‡­...

2021-03-25

这个题目是这样的:有一个四边形ABCD,画在一张白纸上。本æ¥å°±æ˜¯æƒ³ç®€å•åœ°ç”»å‡ºä¸¤æ¡å¯¹è§’线的交点S。如下图所示。 但是ä¸çŸ¥ä»€ä¹ˆåŽŸå› ï¼Œç”»æœ‰å››è¾¹å½¢ABCD的纸上,点B和点DåŠå…¶å¤–侧被撕掉了,æˆä¸ºä¸‹å›¾æ‰€ç¤ºçš„æ ·å­ã€‚ 于是,虽然对角线ACä»ç„¶å¯ä»¥ç”»å‡ºï¼Œä½†æ²¡æœ‰äº†ç‚¹Bå’ŒD,就无法画出对角线BD,从...

2021-03-23

今天讲一个轨迹题,我们将用笛沙格定ç†è¯æ˜Žè¿™ä¸ªè½¨è¿¹æ˜¯ä¸€æ¡ç›´çº¿ã€‚ 题目是这样的:有两æ¡ç›¸äº¤ç›´çº¿l1(绿色)å’Œl2(紫色),交点为O。å¦æœ‰ä¸€æ¡ç›´çº¿l(æ·±è“色),其上有三个定点Pã€Aå’ŒB。过点P作直线p(天è“色),与直线l1å’Œl2分别交于两点X(绿点)å’ŒY(粉点)。如上图所示。过直线l上的点A和直线l1上的...

2021-03-21

é”™ä½ç›¸å‡æ³•å¯èƒ½æ˜¯é«˜ä¸­å­¦ç”Ÿçš„噩梦,明明知é“怎么算,但是总是算ä¸å‡ºæ­£ç¡®ç­”案。看到的标准答案和自己的答案完全ä¸ä¸€æ ·ï¼Œä½†æ˜¯æ–¹æ³•å®Œå…¨æ­£ç¡®ï¼Œå¯æ˜¯è‡ªå·±å°±æ˜¯ä¸èƒ½ç®—出真正的答案。 â 这很大程度上å¯èƒ½æˆ‘们在计算数列错ä½ç›¸å‡çš„时候åªæ˜¯æ³¨é‡ç®€å•çš„计算,而没有看到错ä½ç›¸å‡çš„本质。...

2021-03-17

今天,3月14日,是一个有趣的科学节日 日,å³åœ†å‘¨çŽ‡æ—¥ ,因为圆周率最常用的近似值是3.14。无比巧åˆçš„是,这一天还与历å²ä¸Šæœ€ä¼Ÿå¤§çš„两ä½ç§‘学家的生死相关 3月14日是爱因斯å¦ç”Ÿæ—¥ï¼Œä¹Ÿæ˜¯éœé‡‘忌日 。 贴一篇之å‰å†™è¿‡çš„文章,纪念一下这个值得纪念的日å­ã€‚ 1879å¹´3月14日,爱因斯å¦å‡ºç”Ÿï¼Œ...

2021-03-14

数学系没有 白色情人节 åˆåˆ°äº†ä¸€å¹´ä¸€åº¦çš„白色情人节圆周率日。 æ¯å¹´çš„3月14日,爱好者们都会举行å„ç§é›†ä¼šï¼Œä¸€èµ·è®¨è®ºæœ‰å…³çš„è¯é¢˜ï¼Œä¸¾åŠžå„类活动以庆ç¥æ—¥ã€‚ 超模å›ä¹Ÿå¿ƒç—’痒想æžä¸ªä»€ä¹ˆæ´»åŠ¨ï¼Œæ¯”如模å‹ç­”对一个问题,就é€ä¸€ä¸ªå°å¤©äº²æ‰‹åšçš„æ´¾ 。 ä¸è¿‡ï¼ŒåŽæ¥æƒ³æƒ³ï¼Œå°å¤©çš„手艺ç»å¸¸æœ‰æ—¶åˆ¹ä¸...

2021-03-14

2020å¹´3月14日,是人类第一个国际数学日。这个节日的昵称是日。国际数学日之所以定在3月14日,是因为3.14是数学上最é‡è¦å’Œè‘—å的常数圆周率的常用近似值。将æ¯å¹´3月14日定为国际数学日,是2019å¹´11月26æ—¥è”åˆå›½æ•™ç§‘文组织第四å届大会上正å¼å®£å¸ƒçš„。...

2021-03-14

悖论 å²ä¸Šæœ€è¯¡å¼‚的悖论 今天,8å²è¡¨å¦¹çš„è€å¸ˆç»™å¥¹å¥–励了一å—大巧克力,陀螺网å°ç¼–打趣她能ä¸èƒ½åˆ†ç»™æˆ‘点,é­åˆ°æ®‹å¿æ‹’ç»ï¼Œé™€èžºç½‘å°ç¼–很愤怒,暗下决心è¦ç¥žä¸çŸ¥é¬¼ä¸è§‰åœ°åƒä¸Šè¡¨å¦¹çš„巧克力。 陀螺网å°ç¼–è¶è¡¨å¦¹åœ¨è®¤çœŸåšä½œä¸šçš„时候,çµæœºä¸€é—ªï¼Œæ‹¿èµ·åˆ€å°±æ˜¯åˆ‡ï¼Œå·å·åƒäº†å¥½å‡ å—。 å‡è£…帮表...

2021-03-13

今天讲一个漂亮的图形,请先看一看它的动画。 (1) 西姆æ¾çº¿ 从三角形外接圆上一点På‘三角形三æ¡è¾¹å¼•åž‚线,三个垂足一定ä½äºŽä¸€æ¡ç›´çº¿ä¸Šã€‚è¿™æ¡ç›´çº¿å°±å«åšè¥¿å§†æ¾çº¿ã€‚ éšç€ç‚¹P在外接圆上è¿åŠ¨ä¸€å‘¨ï¼Œè¥¿å§†æ¾çº¿æœåæ–¹å‘旋转åŠå‘¨ï¼ˆå¯å†æ¬¡è§‚看上é¢çš„动画)。西姆æ¾çº¿çš„包络是一个尖点三...

2021-03-09

学习了除法的表妹跑æ¥é—®æˆ‘: 为什么ä¸èƒ½é™¤ä»¥0? 就这个问题,我专门请æ¥äº†é«˜å†·çš„ Siri 。 åŒæ ·æ˜¯æ•°å­—,0为什么就会这么惨呢? å°å­¦ç”Ÿ å°å­¦è€å¸ˆä¼šç›´æŽ¥ç»™ä½ æ¥ä¸€å¥ï¼š 别问,问就是没æ„ä¹‰ï¼ æ€Žä¹ˆç†è§£ï¼Ÿæˆ‘们说12å¯ä»¥ç†è§£ä¸º1个东西分æˆ2份。 åŒæ ·ï¼š13å¯ä»¥ç†è§£ä¸º1个东西分æˆ3份。 但是:10å¯ä»¥...

2021-03-09

è´è¶å®šç†ï¼š AB为圆Oçš„ä»»æ„一æ¡å¼¦ï¼ŒM为AB的中点,CDå’ŒEF为过点M的两æ¡ä¸åŒäºŽAB的弦。连接CF,DE,这两æ¡å¼¦ä¸ŽAB交于点Gå’ŒH。那么,GM=MH。 è¯æ˜Ž :如下图所示。 è¯æ˜Ž :就上图的样å­ï¼Œæˆ‘们延长FCå’ŒDE,两延长线相交于点P。 于是得到三角形GPH。而CMDå’ŒEMF都是与三角形GPH三边(或延长线)都相交...

2021-03-08

今天给出一个é‡è¦ç»“论,然åŽåˆ©ç”¨è¿™ä¸ªç»“论解一é“三角形作图题。其中用到之å‰ä¸è¿œçš„æŸæœŸè®²è¿‡çš„代数解æžæ³•ã€‚ 我们知é“,如果一动点到一æ¡å®šçº¿æ®µä¸¤ä¸ªç«¯ç‚¹çš„è·ç¦»çš„平方和等于这æ¡å®šçº¿æ®µé•¿åº¦çš„平方,那么这样的动点è¿åŠ¨çš„轨迹明显是一个圆(根æ®å‹¾è‚¡å®šç†çš„逆定ç†ï¼‰ã€‚ ä»ç„¶æ˜¯è¿™ä¸€çº¿æ®µ...

2021-02-18

如图,有一个ç¨å¤§ä¸€äº›çš„三角形ABC,è¦æ±‚在其内部作一个三角形(三个顶点分别ä½äºŽç¨å¤§ä¸‰è§’形的三æ¡è¾¹ä¸Šï¼Œè¿™æ ·ä½œå‡ºçš„三角形称为内接三角形),使其与æŸå·²çŸ¥è¾ƒå°ä¸‰è§’å½¢DEF全等。 请考虑一下。是ä¸æ˜¯æ²¡æœ‰æ€è·¯ï¼Ÿé‚£ä¹ˆæˆ‘们ä¸å¦¨é€†å‘æ€ç»´ï¼Œå³èƒ½å¦ä»Žç¨å°ä¸‰è§’å½¢DEF出å‘,作出一个与三角形A...

2021-02-16

三角形作图题中ç»å¸¸å‡ºçŽ°ä¸¤æ¡è¾¹çš„比值为p:q(或m:n)这一æ¡ä»¶ã€‚于是我们å¯èƒ½ä¼šæƒ³åˆ°é˜¿æ³¢ç½—尼圆,因为阿波罗尼圆是到两个定点è·ç¦»çš„比值是定值的点的轨迹。于是,下é¢ä¸¤é“类似题目的解法就都有å¯èƒ½ç”¨åˆ°é˜¿æ³¢ç½—尼圆。我们一起æ¥è®¨è®ºä¸€ä¸‹ã€‚之å‰è®²ä¸‰è§’形作图题共讲了15é“,所以,今天的两...

2021-02-14

1月3日和1月6日的两期(å°é¢ä¸Šæ˜¯ç¬¬279å’Œ280å·ï¼‰åˆ†åˆ«è®²äº†ä¸¤ç§ç©ºé—´å¯†é“ºé—®é¢˜ï¼š ①《有关正八é¢ä½“ã€æ­£å››é¢ä½“的有趣问题》 ②《正四é¢ä½“与截角四é¢ä½“å¯ä»¥é“ºæ»¡ç©ºé—´ã€‹ 以上两期的链接在文åŽã€‚ 我们上期说过,有五ç§ç”¨æŸæ‹‰å›¾ä½“和(或)阿基米德体铺满整个空间的方å¼ã€‚除上é¢çš„两ç§å¤–,最简...

2021-02-12

以数学家拉马努金å字命å的算法能给出很有æ„æ€çš„å…¬å¼ï¼Œä¸€äº›å…¬å¼è¯æ˜Žèµ·æ¥è¿˜å¾ˆéš¾ã€‚ 研究人员新构建的一ç§äººå·¥æ™ºèƒ½ï¼ˆAI)å¯ä»¥ç”Ÿæˆæ•°å­¦å…¬å¼ï¼ŒåŒ…括一些数学家至今都没能解决的问题。 这个AIåå«æ‹‰é©¬åŠªé‡‘机 (RamanujanMachine) ,研究人员想让它用新的方法计算é‡è¦æ•°å­¦å¸¸æ•°çš„精确值 ,例...

2021-02-12

å‰å‡ å¤©ï¼Œè¶…模å›ç©ºæŠ•äº†ä¸€ä¸ªåŒ…裹给8å²è¡¨å¦¹ã€‚ ä¸åˆ°ä¸‰ç§’,表妹就从包裹里é¢æ‹¿å‡ºæ¥ä¸€æ¡æ¯›æ¯¯ï¼šè¡¨å“¥ï¼Œè¿™ä¸ªæ¯›ç»’绒的毯å­å¥½èˆ’æœï¼Œæˆ‘披ç€æ¯¯å­å†™ä½œä¸šå¾ˆæš–和, 但这个图案是啥,ä¸æ‡‚耶。 如果你也ä¸æ‡‚这是什么,请点击图片ï¼è¶…模å›å¬è¯´ï¼Œå†…心炸裂,作为我超模å›çš„表妹,竟然ä¸æ‡‚欧拉公å¼ä¸ºä½•...

2021-02-05

åˆæ˜¯ä¸€ä¸ªé£Žå’Œæ—¥ä¸½ã€æ²¡æœ‰æ‡’觉ã€è¦èµ¶æ—©è¯¾çš„上åˆï¼Œå°æ˜ŽåŒå­¦æŠ±ç€ä¸€æœ¬é‡å­åŠ›å­¦åŒ†åŒ†èµ°åœ¨åŽ»æ•™å­¦æ¥¼çš„路上。 在ç»åŽ†äº†å› ä¸ºåœ¨çƒ­å­¦è¯¾ä¸Šç¡ç€ã€æ‰€ä»¥åœ¨æ¢¦é‡Œå½“了一个世纪的打工å°å¦–的人间惨案之åŽï¼Œå°æ˜Žå†³å¿ƒæ—©ç¡æ—©èµ·ã€è§„律作æ¯ã€å†ä¹Ÿä¸å¶å°”通宵玩游æˆï¼ŒæŠŠå†åº¦æ²¦è½ä¸ºæ‰“工人的å¯èƒ½æ€§æ‰¼æ€åœ¨æ‘‡ç¯®é‡Œ...

2021-01-31

有个比较有æ„æ€çš„问题,形å¼æ¯”较多,有说开ç¯å…³ç¯çš„,也有说黑白棋的,ä¸è¿‡é»‘白棋更容易让å°æœ‹å‹ç†è§£ã€‚黑白棋就是一é¢æ˜¯é»‘棋,翻一下就å˜æˆç™½æ£‹ï¼Œå†ç¿»ä¸€ä¸‹åˆå˜å›žé»‘棋。我们æ¥çœ‹çœ‹è¿™æ ·çš„题目: 1 棋盘上有n个黑棋,æ¯æ¬¡ç¿»åŠ¨nï¼1个棋,那么翻动多少次以åŽï¼Œn个黑棋都å˜æˆç™½æ£‹ï¼Ÿ è¿™...

2021-01-29

生活中有很多相等的é‡ï¼Œå¦‚平衡的天平ã€å¹³è¡¡çš„è··è··æ¿ä¸¤è¾¹çš„é‡é‡ç›¸ç­‰.我们å¯ä»¥æ ¹æ®è¿™äº›ç›¸ç­‰çš„关系进行推ç†ï¼Œè¿›è€Œå¯ä»¥ç­‰é‡ä»£æ¢ï¼Œæ‰¾åˆ°ç­”案。 ç­‰é‡ä»£æ¢å…¶å®žåœ¨ä¸€å¹´çº§å·²ç»æœ‰äº†åŸºæœ¬çš„接触,二年级里,我们把等é‡ä»£æ¢ä½œä¸ºä¸€ç§è§£é¢˜æ–¹æ³•æ‹¿å‡ºæ¥ä»‹ç»ï¼Œå¼•å¯¼å°æœ‹å‹æ¥å­¦ä¹ ç­‰é‡ä»£æ¢ä¸­æŽ¨ç†çš„方法...

2021-01-26

几何问题一旦与比例问题相结åˆï¼Œé‚£ä¹ˆå°±ä¸è¦å•çº¯ç”¨æ¯”例问题方法æ¥è§£å†³äº†ï¼Œè€Œåº”该结åˆå‡ ä½•å›¾å½¢æ¥è§£å†³ï¼Œå¾€å¾€äº‹åŠåŠŸå€ã€‚ 1 如下图,ABCD是一个梯形,E是BC的中点,直线DE把梯形分æˆå››è¾¹å½¢ABEDã€ä¸‰è§’å½¢CDE两部分,它们的é¢ç§¯ä¹‹æ¯”是10:6,求上底AB与下底CD之比。 我们对上图添加一æ¡è¾…助线,...

2021-01-23

å‚…ç«‹å¶å˜æ¢ 今天,先放个动图给大家猜猜今天文章的主题(ä¸è¦å·çœ‹å“¦ã€‚。。) 巴拉拉 , å˜èº«å§ï¼ï¼ï¼ 图片作者:LucasVB çªç„¶å‘现自己的å°å¿ƒæ€è¢«æ ‡é¢˜ç»™å‡ºå–了(å°å¤©ï¼Œä½ è¿™æ ‡é¢˜èµ·çš„真好。。。) 言归正传,超模å›ä»Šå¤©è¦è·Ÿå¤§å®¶åˆ†äº«çš„确实是 工科大神器 å‚…ç«‹å¶å˜æ¢ã€‚ 说到傅立å¶å˜æ¢ï¼Œ...

2021-01-22

å°é—­åž‹æ•°é˜µå›¾é€šå¸¸æ˜¯å¤šè¾¹å½¢çš„æ¯æ¡è¾¹æ”¾åŒæ ·å¤šçš„数,使它们的和都等于一个ä¸å˜çš„数。 1 在下图中的å°åœ†åœˆä¸­å¡«å…¥1~8,使得æ¯æ¡ç›´çº¿ä¸Šçš„3个数字之和都等于14,且数字1必须在其中一个角上。 少数关键点:四个角 åªæœ‰å››ä¸ªè§’上的数会被计算2次,也就是å„é‡å¤1次。 解题æ€è·¯ï¼š 上图中线æ¡æ•°...

2021-01-21

欢快如厕 ä¸ºä½•å¤§å£°æƒ¨å« å‰å‡ å¤©ï¼Œç«Ÿç„¶æœ‰æ¨¡å‹ç§ä¿¡è¶…模å›ï¼Œè¯´è¿™æ˜¯ä¸æ˜¯çœŸçš„。 网å‹ç§ä¿¡æˆªå›¾WTFï¼ æ•°å­¦å²ä¸Šå°±æœ‰ä¸€é“奇葩的难题,是历代数学家们在厕所里解决的。 厕所冥想 1917年,为了给日本武士增添生活趣味,数学家挂谷宗一(KaichibaSoichiKakeya)æ出了有味é“çš„ 挂谷问题 。 æŸå¤©ï¼Œä¸€ä½æ­¦...

2021-01-20

今天介ç»äºŒæ¬¡æ›²é¢ï¼Œä½†æˆ‘想从直观上进行讲解。 一个圆,沿ç€ä¸Žåœ†æ‰€åœ¨å¹³é¢åž‚ç›´çš„æ–¹å‘平移,轨迹是一个圆柱é¢ã€‚类似地,把圆æ¢æˆæ¤­åœ†ã€æŠ›ç‰©çº¿æˆ–åŒæ›²çº¿ï¼Œä½œåŒæ ·çš„平移,轨迹将是椭圆柱é¢ã€æŠ›ç‰©æŸ±é¢æˆ–åŒæ›²æŸ±é¢ã€‚ 椭圆柱é¢ã€æŠ›ç‰©æŸ±é¢æˆ–åŒæ›²æŸ±é¢ä¹Ÿå¯ä»¥ç†è§£ä¸ºä¸€æ¡è¿‡æ¤­åœ†ã€æŠ›ç‰©çº¿æˆ–åŒæ›²...

2021-01-20

所谓å•å¶é˜¶å¹»æ–¹å°±æ˜¯å½“nå¯ä»¥ä¸èƒ½è¢«4整除时的å¶é˜¶å¹»æ–¹ï¼Œå³4K+2阶幻方。比如除了二阶幻方以外,最å°çš„å•å¶æ•°é˜¶å¹»æ–¹å°±æ˜¯å…­é˜¶å¹»æ–¹äº†ã€‚ å•å¶æ•°é˜¶å¹»æ–¹çš„通用解法是象é™å¯¹ç§°äº¤æ¢æ³•ã€‚我们以一个å阶幻方为例,其具体æ“作步骤如下: 1.将幻方分æˆ22çš„4个区域,由于是å•å¶æ•°é˜¶å¹»æ–¹ï¼Œæ‰€ä»¥è¿™...

2021-01-17

一æ到 乌鸦 你会想到什么? 是黑色ä¸ç¥¥çš„象å¾ï¼Ÿè¿˜æ˜¯å¯“言故事里狡猾的角色?亦或是一些神è¯é‡Œçš„愚蠢象å¾ï¼Ÿ 当然应该也会想到伊索寓言里那åªä¼šå¼ç€çŸ³å­å–æ°´çš„èªæ˜Žä¹Œé¸¦ã€‚ 伊索寓言里那åªæ‡‚得用石头å–到水乌鸦 (图æºï¼šWikipedia) 除此之外,你å¯èƒ½ä¼šè®°å¾—很多电影ã€åŠ¨æ¼«é‡Œçš„èªæ˜Žä¹Œé¸¦...

2021-01-14

上次介ç»äº†ä¸€ä¸‹ç®€å•ç®—æ•°å¹³å‡ï¼Œå°±æ˜¯æŠŠæ‰€æœ‰æ•°å­—求和,除以数字的个数。但是有时候会涉åŠåˆ°æ•°å­—的分组计算,这个时候当然就适åˆä½¿ç”¨åŠ æƒç®—æ•°å¹³å‡äº†ï¼Œå…¶å®žåŠ æƒç®—æ•°å¹³å‡çš„本质还是算数平å‡ï¼Œåªä¸è¿‡æŠŠç›¸åŒçš„数字直接乘以这个数字的个数(æƒé‡ï¼‰ï¼Œä»¥å¿«é€Ÿæ±‚和。 加æƒç®—术平å‡æ•°çš„计算...

2021-01-13

今天讲一个简å•çš„知识,那就是四é¢ä½“的质心(也å«åšé‡å¿ƒæˆ–中心)。我们è¦è¯æ˜Žä¸€ä¸ªå››é¢ä½“æ¯ä¸ªé¡¶ç‚¹åˆ°å¯¹é¢ä¸­å¿ƒè¿žçº¿ï¼ˆå«åšå››é¢ä½“的中线)相交于一点,且这点到顶点è·ç¦»ä¸Žåˆ°å¯¹é¢ä¸­å¿ƒè·ç¦»ä¹‹æ¯”为3:1。 我们知识,在平é¢æ—¶ï¼Œä¸‰è§’形三æ¡ä¸­çº¿ç›¸äº¤äºŽä¸€ç‚¹ï¼Œè¿™ç‚¹å«åšè´¨å¿ƒï¼ˆæˆ–é‡å¿ƒã€ä¸­å¿ƒï¼‰ï¼Œ...

2021-01-13
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