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潘洛斯阶梯

潘洛斯阶梯的破绽,潘洛斯阶梯怎么画、能不能构建、怎么走出、存在吗,现实中的潘洛斯楼梯、原理、图解、模型制作、视频、图片。

最近几期都讲到笛沙格对合定理。上上期我们讲了用笛沙格对合定理证明蝴蝶定理。蝴蝶定理的推广形式就是所谓的坎迪(Candy)定理。以前我讲过坎迪定理,给出了证明(见文后链接),但证明过程比较复杂。今天我给出用笛沙格对合定理证明坎迪定理,非常简洁和有效,正像我们之前用它证明蝴蝶定理那样简洁、有效。 先给出 坎迪定理 本身: 有一个圆O,任取一条弦AB。在弦...

2022-05-14

今天讲笛沙格对合定理与完全四边形的关系。很有意思! (1) 笛沙格对合定理 一条直线截圆锥曲线于点对(S,S),截圆锥曲线的内接四边形的三组对边分别于点对(A,A),(B,B)及(C,C),那么,这四个点对位于同一个对合中。 注:我们用同一大写字母一个不带撇,一个带撇表示点对,比如(A,A)。另外,上图中,四边形PQRT的三组对边分别是QR与PT,PR与QT,PQ与RT。 (2)笛沙格对合定理...

2022-05-12

今天我们用 笛沙格对合定理 来证明蝴蝶定理。这个证明方法简洁、有效。笛沙格对合定理是一个很难理解的定理,属于射影几何。我们今天给出这个定理,并对其进行一些说明,但不证明。然后,蝴蝶定理的证明反就极为简洁、有效。 笛沙格对合定理 一条直线截一条圆锥曲线于点对(S,S),截圆锥曲线的内接四边形的三组对边分别于点对(A,A),(B,B)及(C,C),那么,这四个点对...

2022-05-10

(1)圆锥曲线的内与外。如下图所示,阴影区城为内。 (2)在双曲线外一点向双曲线可以引两条切线。若这点位于双曲线对称中心,则两条切线就是双曲线的两条渐近线。所以,从非对称中心一点所引两条切线与两条渐近线,可以看成四条切线。这四条切线可以构成双曲线的一个外切四边形。 具体来说,如上图所示,直线PQ与双曲线的左支相切,直线PQ也与双曲线左支相切。点P和Q是...

2022-05-06

小编的手机镜头突出程度还不是很高,但已经不能平放在桌子上了。 起身上厕所,你新买的iPhone13ProMax1TB国行远峰蓝放在桌子上,没带手机壳,突出机身的镜头让它在桌子上很不稳定。突然,电话来了,你的手机不断震动,向桌边蠕动。在你从厕所出来的一瞬间,它在你的注视下摔向地面。随手机屏幕一起碎裂的,是君子爱财的心。 撰文|王昱 审校|二七 不知道从什么时候起,人...

2022-04-21

看到这个恐怖的场景,你想的是什么?这家伙肯定作弊了!这个槽子里流下来的是熔融的铁水,温度高达1370℃。 像这样挥掌断铁水,铁水没事,掌也没事,完全就不可思议,不作弊怎么可能做到? 事实上这家伙确实作弊了,因为他在手掌上涂了一种叫一氧化二氢的物质。 这个家伙名叫阿尔卡季马格迪扬,是亚美尼亚的一名钢铁工人。 刚入厂时,前辈工人就说,我们这里有一个...

2022-04-15

范数翻译自英语norm,是一个数学术语。其功能相当于是矩阵(或向量)的大小。 一、什么是范数 数学分析喜欢比较大小多少(和人喜欢攀比差不多),但矩阵所含元素往往不止一个(等于一个便是数,可以不用玩矩阵)。两个矩阵之间有时也要比大小。如果逐个元素去比,一方面得不到大小的确切结论,另一方这样比有没有物理意义和工程意义。范数是从矩阵元素算出一个数来(算的方...

2022-04-10

如果有一天有人这样告诉你:你可以沿着一段一直向上的台阶(或楼梯)走,最终能回到出发点。你会怎样回答?单凭直觉和逻辑,你可能马上会说这绝不可能。那为什么还会有人如此发问呢?说到这里,我们就不得不提埃舍尔的著名版画作品《上升与下降》,在这幅版画的城堡楼顶上,你会看到内圈的队伍一直在下坡,外圈的队伍却一直在上坡,并形成一个回路,周而复始。你...

2022-04-05

2019年11月26日联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布3月14日定为国际数学日。之所以选择这一天,是因为连接天圆和地方的圆周率近似为3.14。 电视上经常有小孩子背诵圆周率的表演,其所表现出的记忆力令人叹为观止,但是这死记硬背怎么也追不上电脑的机械计算。 2021年8月19日,瑞士的格劳宾登州应用科学大学(UniversityofAppliedSciencesoftheGrisons)的DAViS团队宣布完成到62.8万亿位...

2022-03-14

今天讲古鲁金第二定理。 上一期所讲的古鲁金定理可以称为第一定理。 第一定理是讲旋转面面积与旋转曲线长度及曲线质心之间的关系,而第二定理则讲旋转体体积与旋转区域面积及旋转区域质心之间的关系,维度升高一维。 两个定理的叙述类似。 上一期的古鲁金第一定理是说: 古鲁金(P.Guldin) 第 一 定理 :一条平面曲线绕同平面内一条不穿过它的轴旋转一周所得曲面的面积...

2022-02-13

拓扑游戏

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今天介绍一个拓扑学小游戏,锻炼你的空间想像力。如下图所示,是一个刚性框架。红色绳子与第①个圈套在一起(绳子是无法直接取下来的)。但结构中的三个画成椭圆形状的圆圈,与在其中穿过的直杆之间留有空隙,足够绳子穿过。那么,我们如何在既不剪断框架也不剪断绳子的前提下,把绳子从框架上取出来? 上图中的文字标明了一些条件。建议最好不要真的找来或制作...

2022-02-07

中国古代数学家发现了牟合方盖这样一个立体,再运用祖暅原理,求出牟合方盖的体积。然后就可以求出球的体积了。球这么一个最常见最对称的立体,体积可不像正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的体积那么好求,人类探索了几千年。中国古人真的很聪明。您读到文后就会感受到的。(1)生活中有很多形状类似牟合方盖的物品。比如下图所示的露营帐篷(半个牟合方盖...

2022-01-27

今天讲一讲悬链线。把一根质量分布均匀的链子或软绳的两端系在等高的两个点上(其实不等高也不影响),则链子或软绳自然弯曲而成的曲线就是 悬链线 。很早以前人们认为悬链线是抛物线,因为看上去确实很像。但后来物理学家和数学家都证明了它不是抛物线。根据力学原理分析悬链或软绳的受力,可以得出悬链线的方程是: 其中涉及 双曲余弦 : 类似地,还有双曲正弦、...

2022-01-16

本人在1985年夏天去一个高度发达的外星球旅行了一个月时间,不但了解了他们的日常生活情况,还掌握了他们许多超前的科学技术,以及与宇宙核心秘密有关的方程。 特别是他们的人工场扫描技术,可以取代我们地球上的电能,是电的升级产品,一旦被我们社会所重视,立即可以引起人类天翻地覆的变化。人类将迅速的进入光速、虚拟时代。 由于精力有限,我现在集中力量在网...

2022-01-02

(1) 起源 。我们熟悉的椭圆是这样定义的:到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹。这里定长2a必须大于两定点间距离2c。雅各伯努利仿照椭圆的定义,稍做改动,发现了双纽线。他是这样定义双纽线的:设两定点F、F之间距离为2a,则到两定点距离之积为定值a的点的轨迹就叫做双纽线。双纽线的图形如下图所示,它的形状像个横着的8,也像是无穷符号。 (2) 方程的推导...

2021-12-31

史留斯蚌线及它们与圆锥曲线之间的关系。 史留斯蚌线是这样做出来的:有一个半径为r的圆C,取一条直径OD(不妨置于水平)。还有一条直线l与直径OD垂直。直线l与圆心的距离可以变化,有相离、相切和相交三种关系。以下图相离情况为例加以说明。 以点O为极点,OD所在直线为极轴。在直线l上取一动点N,作射线ON。ON与圆交于点M。作向量MN(注意,这里取向量,是为了有方向...

2021-12-22

今天简单讲一下麦克劳林三等分角曲线,及它是如何做到三等分一个角的。 (1)作抛物线: (2)在抛物线上任取一点P。作点P处抛物线的切线m。从点O作切线m的垂线,垂足为M。 (3)让点P在抛物线上运动,那么,垂足M的运动轨迹就是所谓的麦克劳林三等分角曲线。(有关垂足曲线的知识,在前两三期的内容中有过介绍。)麦克劳林三等分角曲线见下图中的红色曲线。(注意,...

2021-12-14

自打毕业之后,我的数学知识可以说已经全都还给小学老师了。 除了平时买东西时会动用100以内加减法,其他高深的数学知识里,能算得上比较脸熟的,就只剩下圆周率了。 3.14,必须写一下,以证明我念过书! 我们普通人知道的当然与数学家研究的不一样,在数学家眼里,不是3.14,而是3.141592653对于数学家来说,是一个挑战、一个难关、一个课题,一切都因为它是个无理数,...

2021-12-08

对数螺线

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今天简单介绍一下对数螺线及其绘制方法。 还有一些与对数螺线非常接近的螺线。 首先讲一下黄金矩形。 宽与长的比值等于黄金比0.618的矩形称为黄金矩形。 黄金矩形的一个特点是,沿着与短边平行的方向,从黄金矩形中一刀切掉一个边长等于宽的正方形,所剩的图形是一个与原来矩形相似的黄金矩形。 这一过程可以无限地进行下去。 并且,如果按照一定的顺序有规律地切割...

2021-10-30

量子信息 中国量子计算研究获重要进展 近日,中科院量子信息与量子科技创新研究院科研团队在超导量子和光量子两种系统的量子计算方面取得重要进展,使我国成为目前世界上唯一在两种物理体系达到量子计算优越性里程碑的国家。 经过研究攻关,超导量子计算研究团队构建了66比特可编程超导量子计算原型机祖冲之二号,实现了对量子随机线路取样任务的快速求解,比目前...

2021-10-26

一、力学模型的视角 超静定这个词汇在理论力学和材料力学中提的多,而瞬变体系则在结构力学中谈的比较多,那么这二者有没有联系呢? 图1 看图1(a)中AB(本文所讨论的杆件均为不计重量的轻杆)。按认知习惯,对这种问题,只讨论沿杆方向的外加载荷(图中 F ),而不讨论垂直于杆的载荷。此时AB的内力是确定的。 图1(b)在图1(a)的基础上添加了一根水平杆BC【为了简洁(但不失概念准...

2021-10-26

以前讲过很多例子,它们的模型都是斐波那契数列。今天再讲一个,我们一起来看看是怎么回事。这个例子与音乐有关。斐波那契数列真是丰富多彩。 涉及音乐的节拍。设一个短音为一拍,用一字线 一 表示;一个长音时长为短音的两倍,为两拍,用二字线 一一 表示。用这两种声音奏出一小节的声音。那么具有n拍(n=1,2,3,)的一小节有几种不同的节奏类型?我们边举例子边说明什...

2021-10-23

今天所讲内容涉及很多知识内容,但都不难,也很有趣,不妨仔细读一读。 1 . 预备知识一:斐波那契数列的相关性质 性质A :三个相邻的斐波那契数,外侧两个斐波那契数的乘积,与中间斐波那契数的平方的差,绝对值为1;在中间数的项数为偶数时,外侧两数乘积比中间数的平方大1,在...

2021-10-20

黄金分割比例是多少?诸葛亮黄金分割点是多少? 黄金分割比例分割点是 0.618, 什么是黄金分割? 生活中有哪些黄金分割的事物? 在生活中,有一个与众不同的数,按这个数所包含的比例关系组成 的事物通常表现出和谐与美。这个数就是 0.618, 即黄金数。为什么这个数如此有魅力呢?这...

2021-10-13

斐波那契数列是怎么来的? 斐波那契数列与黄金数有什么联系? 意大利数学家斐波那契曾出过一道有趣的数学 题:如果一对兔子每月生一对小兔子,而每对小兔子在它们出生两个月后,又开始生一对小兔子。假定不发生意外的死亡,一对兔子一年后能繁殖多少对兔子?这个问题引出了一个...

2021-10-13

阿拉伯数字是哪个国家发明的?阿拉伯数字是谁发明的?阿拉伯数字的由来 数字是表不数量的一种简便方法, Q在谁发明了数字的问题 上,大家说法不一 在我们生活中有很重要的位置。我们现在所使 用的数字是阿拉伯数字,它以十进制为基础,采用了十个计数符号: 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、...

2021-10-13

-ics,-logy,-graphy,-nomy,-ry都是学科的后缀(参考化学chemistry与牙科学dentistry的后缀是-ry?biology和biography差得有点远!经济Economy、生态学Ecology和经济学Economics看起来咋这么像?拓扑学Topology与地形学Topography咋这么相似呢?)。 另一个常见的学科后缀为-metry,如geometry(几何),stoichiometry(化学计量法...

2021-10-13

斐波那契数列为: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, 请问,斐波那契数列的第20项F20是否可以被3整除?是否可以被5整除?是否可以被11整除? 当然,我们可以按递推关系把F20找出来,那么,上述这三个整除是否可行就能够计算出来了。其实我们有更加快捷的方式说出上述三个问题的结果。这...

2021-10-10

下面这个性质的出现次数非常多: 比如在那个著名的几何谬误中(以前讲过)。今天我们用这个性质来研究关于斐波那契数列中奇数项的因数的一个性质,这个性质一般不是很容易看出来。看出来了,证明也不是很容易。我今天应用费马小定理,就可以证明这个埋藏极深的性质。 数论性质...

2021-10-06

今天简单介绍一下卢卡斯数列。 我们知道斐波那契数列为: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 而卢卡斯数列是通过斐波那契数列来定义的。首先,我们补充定义F0=0。于是,补充后的斐波那契数列为: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 我们定义卢卡斯数为: Ln=Fn-1+Fn+1,其中n=1,2,3, 于是, L1=F0+F2=0+1=1 L2=F1+F3=1+2=3 L3=F2+F4=...

2021-10-04
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