错位相减法可能是高中学生的噩梦，明明知道怎么算，但是总是算不出正确答案。看到的标准答案和自己的答案完全不一样，但是方法完全正确，可是自己就是不能算出真正的答案。
❝这很大程度上可能我们在计算数列错位相减的时候只是注重简单的计算，而没有看到错位相减的本质。
❞其实在老师改卷的过程中，也十分头疼这个问题，标准答案要求最后的过程要化简成最简结果，但是一个班可能就没有一个和标准答案的形式是一样的，所以老师还得花时间验证同学算的到底对不对。
因此为了探究错位相减法，阿拉丁带着大家从源头看一看到底什么才是真正的错位相减。
等比数列求和
那么故事就要追溯到我们在学等比数列求和公式的时候。
还记得第一次接触到等比数列求和公式的时候，是怎么推导的呢？
当然我们就不考虑q=1的情况了，这种情况有点侮辱智商。
首先我们将前n项和展开来：
也就是说
然后将等式两边同时乘以等比数列的公比
，得到：
上式减下式得到了：
于是就有了
的等比数列的求和公式。
实际上这就是错位相减最开始的样子，将（1）式和（2）式错开一位数，中间的
全部被消去，只剩（1）式的第一项和（2）式的最后一项。
这个时候有些同学可能会记得老师说过对于求和公式，我们可以将它分开来看
那么就会出现
这样的形式，其中
。
那么阿拉丁说了，这就是错位相减最初的样子。时间可以改变一个人的容颜，但是改不掉他坚定的目标。数字的复杂可以改变计算的难度，但是改变不了它所拥有的形式。
错位相减法
回顾完了错位相减法最初的样子，那么我们回到我们熟悉的错位相减法。
错位相减法有着非常明显的特征——等差×等比，我们也可以将其称之为“差比数列”
❝为等差数列， 为等比数列,那么
,要求 的前n项和就可以通过错位相减的办法。
❞
那么我们就来感受一下时光到底将最初的错位相减变成了什么吧。
❝假设
为一个等差数列，
为等比数列(至于为什么这样设 ,那就是俩字——好算！)，那么 ,现在要求 的前n项和。
❞
熟悉的情况，熟悉的方法，上式减下式
等式右边的第一项和第三项没什么好说的，值得注意的是第二项，是一个等比数列，因此我们可以通过等比数列的求和公式来求解。
为了探究这几项最终可以化为什么形式，就是中国人的好习惯——通分，同时乘以
得到
如果令
,
那么最终的
❝所以你是不是认为这就结束了？
❞那必然是没有，难道只是为了记公式吗？那就失去了数学的乐趣。
根据推导我们得到了一个非常漂亮的形式
，回过头来看我们等比数列前n项和的公式，我们发现这其实就是一般形式，而等比数列前n项和公式只是当等差数列为常数列的时候的特殊“差比数列”。
那么如果已知形式去求具体数字，这种感觉更像是“拟合”，为了高大上一点我们把它称之为「待定系数法」
那么如何待定系数呢？很简单，因为我们有了形式公式
，如果做到这化简的一步，那么我们就先写上
，为了直观表示，我们将三个下划线的位置分别记为1，2，3号(下划线代表着我们要待定的系数，而写俩减号只是为了方便把它变成加号)
第二步，我们观察关于
的一次项系数，也就是说那些数字计算起来可以和
组成我们的1号位
第三步，计算那些数字是常数项，就是我们的3号位
最后2号位和3号位互为相反数自然得到最终的答案。
❝
计算
的前n项和
❞
这是非常简单的一道错位相减题目，我们来看看待定系数法具体怎么用
上下相减（这里的上下相减最好是上式减下式）
这时候潇洒的写下
，观察上式右边第二项可以写成 ,因此和
相关的数字——只有2（注意等式左边还有个负号，负负得正）
那么我们就得到
，然后计算常数项。与常数项相关的数字是不是只有
,因此得到
。
最后，我们知道2号位和3号位互为相反数因此得到最终的答案：
学废了吗？
