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一七数和缺八数
上传时间:2020-08-29 16:08点击:

 

上一篇的探秘中提到,142857只是无数一七数中平平无奇的一个

 

实际上,一七数也只是众多“进制巧合”的一小部分。十进制系统的简洁对称,使得各种数学巧合层出不穷....(有机会再探讨更一般的进制)

此外,留言区提到了缺八数:

 

 

今天就通过一七数和缺八数,领略“进制的巧合”。

 

正题开始

一七数

 

定义

若p为素数,1/p的循环节长为p-1,则称循环节对应的数为一七数。

 

 

一七数的四个性质定理

轮转定理

翻车定理

拆和定理

平方拆和定理

通过四个定理可以很容易地构造性质数。

 

例如,用7进制数字构造与6相关的性质数:(0431162355)7

(0431162355)7×2=(1162355043)7

乘以1~10,得数均为0431162355的轮转

(04311)7+(62355)7=(66666)7

(14)7×(0431162355)7=(6666666666)7

(0431162355)27=(255620661133462644)7

(25562066)7+(1133462644)7=(1162355043)7

 

一七数除了上述四个特性,还有很多,以142857为例。

 

142857×8=1 14285 6142857×9=1 28561 3...142857×13=1 85714 1

 

这是词条上的例子。

把得数的“头”加到尾巴上,又得到142857的轮转数。基本原理

以乘8为例:

 

 

于是“头部添1,尾部减1”,上边性质就出现了。

 

 

延伸|一七数有多少?

 

如果考虑不同进制,一七数可以有无穷多个。

1/7的循环节在3,10,17,24,...等3+7k进制中,长度均为6,因而都构成一七数。

如果考虑特定进制,就不好说了。

容易证明,平方进制4,9,16...中不存在一七数。

 

统计显示

3-10000的进制中,除平方进制外,都含有一七数。

在十进制中,也有大量一七数,5w以内有1947个素数可生成一七数。

 

猜想

若m进制中含有一七数,则必含无穷多的一七数。

 

缺八数

 

缺八数指12345679。这里讨论它的2个性质。

 

一、乘九归一

12345679×9=111111111

 

二、乘八倒序

12345679×8=98765432

 

 

原理解释

 

性质一

先考虑123456789与9的乘积

产生一排1的原因在于错位相减

 

通过“不缺数”123456789作媒介,论证缺八数的性质。

 

性质二

考虑123456789+987654321=

1111111110

加1减1:

 

 

性质二也有了。

 

由于讨论过程不依赖所处进制,一般地,m进制下“缺m-2数”都有上边性质。

 

9进制下1234568×8=1111111

1234568×7=8765432

 

8进制下123457×7=111111

123457×6=765432

 

数学探究没有终止线,一个问题的结束往往伴随更多新问题的产生。

 

性质推广

一、推广缺项

把其他缺项数乘2

23456789×2=46913578(缺2)

13456789×2=26913578(缺4)

12456789×2=24913578(缺6)

12356789×2=24713578(69→7)

12346789×2=24693578(缺1)

12345789×2=24691578(缺3)

12345689×2=24691378(缺5)

12345679×2=24691358(缺7)

12345678×2=24691356(78→6)

 

右边得数均和246913578紧密相关

 

考虑不缺数乘2

123456789×2=246913578

得数便为246913578

 

巧合太多,不免疑惑:随便玩都有这些“巧合”吗?交换3和4的位置试试。

124356789×2=248713578

数字7和8重复了

 

数的次序不能交换,也说明次序是性质产生的关键

 

二、推广进制

进一步看,这些性质与所处进制密切相关偶数进制下乘28进制:1234567×2=2471356

6进制:12345×2=25134

得数都是不缺数

奇数进制下乘2,9进制:12345678×2=24702467

7进制:123456×2=250245

得数都有重复数字。

 

三、推广乘数

乘一般的数又会怎样?

一般地,弄懂十进制,其他进制也会一并迎刃而解。

这里抛一块砖,感兴趣不妨顺着思路走下去,动手摸索往往有更多惊喜和乐趣。

对于123456789

 

 

表格中,白色栏的得数都是不缺数,灰色栏得数都出现了重复数字。容易发现,当乘数被3整除或尾数为9时,得数出现重复数字。。。

总结导图

 

进制的巧合还有很多很多,一七数和缺八数只是其中两例。正是这些巧合的存在,数学才越加好玩。



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